Um das 3. Taylorpolynom der Funktion $f(x) = e^{e^x}$ um den Punkt $x = 0$ zu berechnen, gehen wir wie folgt vor:

Schritt 1: Bestimmung der notwendigen Ableitungen

Wir müssen die Funktion und ihre Ableitungen bis zur 3. Ordnung berechnen.

1. Funktion $f(x)$

$f(x) = e^{e^x}$

2. Erste Ableitung $f'(x)$

Die Kettenregel ergibt: $f'(x) = e^{e^x} \cdot e^x$

3. Zweite Ableitung $f''(x)$

Anwendung der Produkt- und Kettenregel: $f''(x) = \frac{d}{dx}\left( e^{e^x} \cdot e^x \right) = e^{e^x} \cdot e^x \cdot e^x + e^{e^x} \cdot e^x = e^{e^x} \cdot e^x (e^x + 1)$

4. Dritte Ableitung $f^{(3)}(x)$

Nun die Ableitung der zweiten Ableitung: $f^{(3)}(x) = \frac{d}{dx} \left( e^{e^x} \cdot e^x (e^x + 1) \right)$ Hierbei müssen wir die Produktregel und Kettenregel erneut anwenden: $f^{(3)}(x) = e^{e^x} \cdot e^x \cdot (e^x + 1)^2 + e^{e^x} \cdot e^x \cdot e^x (e^x + 1) + e^{e^x} \cdot e^x \cdot e^x$

Schritt 2: Berechnung der Funktionswerte und Ableitungen an $x = 0$

1. Funktion an $x = 0$:

$f(0) = e^{e^0} = e^1 = e$

2. Erste Ableitung an $x = 0$:

$f'(0) = e^{e^0} \cdot e^0 = e^1 \cdot 1 = e$

3. Zweite Ableitung an $x = 0$:

$f''(0) = e^{e^0} \cdot e^0 \cdot (e^0 + 1) = e^1 \cdot 1 \cdot (1 + 1) = 2e$

4. Dritte Ableitung an $x = 0$:

$f^{(3)}(0) = e^{e^0} \cdot e^0 \cdot (e^0 + 1)^2 = e^1 \cdot 1 \cdot (1 + 1)^2 = 4e$

Schritt 3: Aufbau des Taylorpolynoms

Das 3. Taylorpolynom ist gegeben durch: $T_3(x) = f(0) + f'(0) \cdot x + \frac{f''(0)}{2!} \cdot x^2 + \frac{f^{(3)}(0)}{3!} \cdot x^3$

Einsetzen der berechneten Werte: $T_3(x) = e + e \cdot x + \frac{2e}{2} \cdot x^2 + \frac{4e}{6} \cdot x^3$ $T_3(x) = e + e \cdot x + e \cdot x^2 + \frac{2e}{3} \cdot x^3$

Ergebnis:

Das 3. Taylorpolynom von $f(x) = e^{e^x}$ um den Punkt $x = 0$ ist: $T_3(x) = e + e \cdot x + e \cdot x^2 + \frac{2e}{3} \cdot x^3$

Möchtest du Details zu den einzelnen Schritten oder hast du noch Fragen dazu?

Weitere Fragen:

1. Wie sieht das Taylorpolynom für höhere Ordnung aus?
2. Was ist der Unterschied zwischen einem Taylorpolynom und einer Maclaurin-Reihe?
3. Wie kann man die Konvergenz eines Taylorpolynoms prüfen?
4. Wie berechnet man das Taylorpolynom für eine Funktion um einen anderen Punkt als 0?
5. Wie verwendet man Taylorreihen zur Approximierung von Funktionen?

Tipp: Das Taylorpolynom gibt eine Annäherung an die Funktion, wobei der Fehler mit steigender Ordnung des Polynoms kleiner wird, solange die Funktion ausreichend glatt (differenzierbar) ist.