Math Problem Statement
Kannst du mir bitte das 3. Taylorpolynom von f(x)=e^(e^x) ausgeben?
Solution
Um das 3. Taylorpolynom der Funktion um den Punkt zu berechnen, gehen wir wie folgt vor:
Schritt 1: Bestimmung der notwendigen Ableitungen
Wir müssen die Funktion und ihre Ableitungen bis zur 3. Ordnung berechnen.
1. Funktion
2. Erste Ableitung
Die Kettenregel ergibt:
3. Zweite Ableitung
Anwendung der Produkt- und Kettenregel:
4. Dritte Ableitung
Nun die Ableitung der zweiten Ableitung: Hierbei müssen wir die Produktregel und Kettenregel erneut anwenden:
Schritt 2: Berechnung der Funktionswerte und Ableitungen an
1. Funktion an :
2. Erste Ableitung an :
3. Zweite Ableitung an :
4. Dritte Ableitung an :
Schritt 3: Aufbau des Taylorpolynoms
Das 3. Taylorpolynom ist gegeben durch:
Einsetzen der berechneten Werte:
Ergebnis:
Das 3. Taylorpolynom von um den Punkt ist:
Möchtest du Details zu den einzelnen Schritten oder hast du noch Fragen dazu?
Weitere Fragen:
- Wie sieht das Taylorpolynom für höhere Ordnung aus?
- Was ist der Unterschied zwischen einem Taylorpolynom und einer Maclaurin-Reihe?
- Wie kann man die Konvergenz eines Taylorpolynoms prüfen?
- Wie berechnet man das Taylorpolynom für eine Funktion um einen anderen Punkt als 0?
- Wie verwendet man Taylorreihen zur Approximierung von Funktionen?
Tipp: Das Taylorpolynom gibt eine Annäherung an die Funktion, wobei der Fehler mit steigender Ordnung des Polynoms kleiner wird, solange die Funktion ausreichend glatt (differenzierbar) ist.
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Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Calculus
Taylor Series
Differentiation
Exponential Functions
Formulas
Taylor Polynomial formula: T_n(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)(x - a)^2 / 2! + ... + f^(n)(a)(x - a)^n / n!
Exponential function derivative: f'(x) = e^x
Chain rule for derivatives
Theorems
Taylor's Theorem
Maclaurin Series (special case of Taylor series at x = 0)
Suitable Grade Level
Grades 11-12